Dalam suatu barisan aritmetika, nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 dan nilai rata-rata 9 suku pertama adalah 3. Jumlah \(n\) suku pertama barisan tersebut adalah…
- \( -10n+n^2 \)
- \( 11n+n^2 \)
- \( 12n-n^2 \)
- \( -10n-n^2 \)
- \( 8n-n^2 \)
(Soal UM UGM 2014)
Pembahasan:
Ingat bahwa rumus rata-rata yaitu \( x = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \) sehingga kita peroleh berikut:
\begin{aligned} x &= \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \\[8pt] 8 &= \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} \\[8pt] 32 &= x_1+x_2+x_3+x_4 \\[8pt] 32 &= a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b) \\[8pt] 32 &= 4a+6b \\[8pt] 16 &= 2a+3b \qquad \cdots (1) \\[30pt] \hline 3 &= \frac{x_1+x_2+\cdots+x_9}{9} \\[8pt] 27 &= x_1+x_2+x_3+x_4+\cdots+x_9 \\[8pt] 27 &= 32+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9 \\[8pt] -5 &= (a+4b)+(a+5b)+(a+6b)+(a+7b)+(a+8b) \\[8pt] -5 &= 5a+30b \\[8pt] -1 &= a+6b \qquad \cdots (2) \end{aligned}
Dari persamaan (1) dan (2), kita peroleh:
\begin{aligned} 2a+3b = 16 &\Leftrightarrow 2a+3b = 16 \\[8pt] a+6b = -1 &\Leftrightarrow 2a+12b = -2 \qquad (-) \\[20pt] \hline &\Leftrightarrow -9b = 18 \\[8pt] &\Leftrightarrow b = -2 \\[8pt] b=-2 &\Leftrightarrow a+6b=-1 \\[8pt] &\Leftrightarrow a+6(-2)=-1 \\[8pt] &\Leftrightarrow a-12=-1 \\[8pt] &\Leftrightarrow a = 11 \\[20pt] \hline S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) &= \frac{n}{2}(2(11)+(n-1)(-2)) \\[8pt] S_n &= \frac{n}{2}(22-2n+2) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(24-2n) \\[8pt] &= 12n-n^2 \end{aligned}
Jawaban C.